Уже древние вавилоняне для облегчения своих вычислений составляли таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов.
Математики Древней Греции старались не выражать величин числами (они знали, что существуют несоизмеримые отрезки, а понятия иррационального числа у них не было. Но все же многие их исследования оказались весьма полезными, когда через два тысячелетия стало формироваться общее понятие функции.
Долгое время понятие функции применялось не имея определенного названия. Из-за этого одни и те же рассуждения повторялись заново, и каждый ученый представлял их по-своему. Возникла необходимость введения нового термина, который позволил бы уточнить понятие и отсечь все случайное и несущественное.
Термин "функция" появился в одной из рукописей Готфрида Вильгельма Лейбница в 1673 году. Однако, он употреблял этот термин в очень узком смысле. Речь шла об отрезках касательных к кривым, об их проекциях на оси координат и о "другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию".
В 1718 году Иоганн Бернулли впервые дает определение функции, свободное от геометрических представлений: "функцией переменной называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины постоянных". Под "каким угодно способом" во времена Бернулли понимали арифметические операции, операции извлечения корней, тригонометрические и обратные тригонометрические, показательные и логарифмические "операции", а также их различные комбинации. Такие функции теперь называют элементарными.
Леонард Эйлер в своем учебнике "Введение в анализ бесконечно малых" (1748), по которому учились целые поколения математиков, воспроизводит определение Бернулли, несколько его уточняя: "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и из чисел или постоянных количеств". Как видно, в этом определении функция попросту отождествляется с тем аналитическим выражением, которым она задается.
Наряду с "явными" функциями, Эйлер рассматривал и "неявные", определяемые неразрешенными уравнениями. В то же время — в связи с знаменитой задачей о колебании струны - Эйлер считал возможным допустить в анализ не только "смешанные" функции, которые в различных частях промежутка задаются различными аналитическими выражениями, но даже функции, определяемые произвольно начерченными графиками. В предисловии к его "Дифференциальному исчислению" (1755) существует еще более общая, хотя и менее определенная формулировка: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых".
В течение ряда десятилетий существенного прогресса в определении понятия функции не было. Обычно приписывают Дирихле заслугу выдвижения на первый план идеи соответствия, которая единственно и лежит в основе этого понятия. В 1837 году он дал такое определение функции y от переменной x (в предложении, что x принимает все значения в некотором промежутке): "Если каждому x отвечает единственное конечное y..., то y называется ... функцией от x для этого промежутка. при этом вовсе нет необходимости, чтобы y во всем этом промежутке зависело от x по одному и тому же закону, и даже не обязательно представлять себе зависимость, выражаемую с помощью математических операций". Это определение сыграло важную роль в истории математического анализа.
Долгое время оставалось незамеченным, что Н.И. Лобачевский высказал эту идею не только раньше, но и в безупречной форме. Примыкая поначалу к точке зрения Эйлера, Лобачевский постепенно отходит от нее и в своей работе "Об исчезании тригонометрических строк" (1834) уже определенно говорит: "Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитически выражено условием, которое подает средство испытать все числа и выбрать одно из них. Или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной".
Привычное для нас обозначение функции — f(x) — принадлежит Эйлеру.
| назад | на главную | вперед |