Элементарные функции

После введения в математическую деятельность понятия функции внимание математиков было обращено на изучение большого количества различных функциональных зависимостей. В результате непрерывного развития математики и в настоящее время появляются все новые классы функций.

Среди всего многообразия функций исторически выделились функции, отличающиеся своей простотой и наиболее широкой областью применения. Это так называемые простейшие элементарные функции, основное значение которых состоит в том, что они составляют базу для изучения более сложных функций, являясь в большинстве своем составными элементами последних.

Простейшими элементарными функциями обычно называют линейную (y=kx+b), квадратичную (y=ax²+bx+c), степенную (y=xⁿ, где n целое число, не равно 1), показательную (y=a^x,где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую (y=log_a x, где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x), обратные тригонометрические
(y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x).

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций.

Выделим классы функций, которые получены из элементарных:

1. Целая рациональная функция (или многочлен): y=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n, где n - целое неотрицательное число (степень многочлена), a₀, a₁, ..., a_n - постоянные числа (коэффициенты).
2. Дробно-рациональная функция, которая является отношением двух целых рациональных функций.

Целые рациональные и дробно-рациональные образуют класс рациональных функций.

3. Иррациональная функция - это та, которая строится с помощью суперпозиции рациональной функции и степенных функций с рациональными показателями.

Рациональная и иррациональная функции образуют класс алгебраических функций. Алгебраическая функция - произвольная функция y=f(x), которая удовлетворяет уравнению:

Элементарные функции, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными.