Понятие о кусочных функциях

На различных участках числовой прямой функция может быть задана разными формулами. Например:

Такие функции назовем кусочными. Участки числовой прямой, которые различаются формулами задания, назовем составляющими области определения, а их объединение, очевидно, является областью определения кусочной функции. Точки, которые делят область определения на составляющие, назовем граничными точками. Выражения, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, назовем входящими функциями.

Наличие таких свойств как четность, нечетность, периодичность нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, точки экстремума, ограниченность у кусочных функций устанавливается согласно общепринятым определениям, с учетом особенностей составляющих области определения и входящих функций.

Кусочная функция будет непрерывной на некотором промежутке [a; b], если объединение задающих ее участков будет совпадать с этим промежутком и односторонние пределы в граничных точках будут равны.

Для того чтобы вычислить значение кусочной функции в заданной точке,необходимо, во-первых, определить, какой составляющей области определения принадлежит эта точка, а, во-вторых, найти значение входящей функции на этой составляющей.

Чтобы построить график кусочной функции, нужно:

1. Построить в одной системе координат графики входящих функций;
2. Провести прямые x=a₁, x=a₂, ..., x=a_n, где a_i - граничные точки;
3. На каждой составляющей области определения (a_i; a_i+1), где i=1..n выбрать тот график, который соответствует входящей функции на этой составляющей;
4. Выяснить значение функции в граничных точках.

Если каждая входящая кусочной функции является линейной, то будем называть ее кусочно-линейной функцией.